✨ مسئله حرکت توپ و حل آن ✨
⚽️
📝 صورت مسئله
توپی را از ارتفاع 40 متری سطح زمین رها کردیم و پس از زمین خوردن نصف ارتفاع قبلی خود بالا می آید ، این توپ از لحظه رها شدن تا سومین مرتبه ای که به زمین می خورد ، چند متر حرکت کرده است؟ 🤔
💡 روش اول: محاسبه مرحله به مرحله
در این روش، مسیر طی شده توسط توپ در هر مرحله را جداگانه محاسبه می‌کنیم و سپس آن‌ها را با هم جمع می‌زنیم. 🚀
- مرحله اول (سقوط): توپ از ارتفاع 40 متری سقوط می‌کند. پس مسافت پیموده شده برابر است با: 40 متر 🎈
- مرحله دوم (صعود): توپ به ارتفاع نصف ارتفاع قبلی، یعنی 20 متر بالا می‌رود. پس مسافت پیموده شده برابر است با: 20 متر 🪁
- مرحله سوم (سقوط): توپ از ارتفاع 20 متری سقوط می‌کند. پس مسافت پیموده شده برابر است با: 20 متر 🪂
- مرحله چهارم (صعود): توپ به ارتفاع نصف ارتفاع قبلی، یعنی 10 متر بالا می‌رود. پس مسافت پیموده شده برابر است با: 10 متر 🎈
- مرحله پنجم (سقوط): توپ از ارتفاع 10 متری سقوط می‌کند. پس مسافت پیموده شده برابر است با: 10 متر 🪁
بنابراین، کل مسافت طی شده تا سومین مرتبه برخورد به زمین برابر است با:
✨ روش دوم: استفاده از سری هندسی ✨
می‌توانیم این مسئله را به عنوان یک سری هندسی در نظر بگیریم. 📈
- جمله اول (a) برابر است با ارتفاع اولیه، یعنی 40 متر.
- نسبت مشترک (r) برابر است با 1/2 (چون توپ نصف ارتفاع قبلی را بالا می‌رود).
مسافت طی شده تا سومین برخورد به زمین، شامل سقوط از ارتفاع اولیه و سپس صعود و سقوط در دو مرحله بعدی است. بنابراین:
- سقوط اول: 40 متر
- صعود اول: 20 متر
- سقوط دوم: 20 متر
- صعود دوم: 10 متر
- سقوط سوم: 10 متر
در واقع، ما مجموع جملات زیر را محاسبه می‌کنیم:
💫 روش سوم: فرمول کلی و تعمیم مسئله 💫
برای حل این نوع مسائل می‌توان از یک فرمول کلی استفاده کرد. اگر ارتفاع اولیه را با h نشان دهیم و نسبت صعود به سقوط را با r (که در اینجا 1/2 است) نشان دهیم، مسافت کل طی شده تا n امین برخورد به زمین برابر است با:
در مسئله ما، h = 40 و r = 1/2 و n = 3. پس:
این فرمول، مسافت کل را تا لحظه برخورد سوم محاسبه می‌کند. اما در واقعیت، ما باید ارتفاع صعود و سقوط بعد از برخورد دوم را هم اضافه کنیم که می‌شود:
🤔 توضیحات تکمیلی و اصطلاحات
- سری هندسی: دنباله‌ای از اعداد است که هر جمله با ضرب کردن جمله قبلی در یک عدد ثابت (نسبت مشترک) به دست می‌آید.
- ارتفاع اولیه: ارتفاعی که توپ از آن رها می‌شود.
- نسبت مشترک: عددی که برای به دست آوردن جمله بعدی در یک سری هندسی، باید در جمله قبلی ضرب شود.
- مسافت پیموده شده: طول کل مسیری که توپ طی می‌کند.
💡 نکات مهم و کاربردی 💡
این مسئله یک مثال ساده از حرکت پرتابه است. در دنیای واقعی، عواملی مانند مقاومت هوا می‌توانند بر مسیر توپ تأثیر بگذارند. همچنین، این نوع مسائل می‌تواند برای محاسبه انرژی تلف شده در هر برخورد به زمین نیز استفاده شود.